Question

已知AB是⊙O的直径，点P在弧AB上﹙不含点A,B﹚，把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在圆O上

当P,C都在AB上方时，过点C作CD⊥直线AP于点D，且CD是⊙O的切线，证明∶AB=4PD.

Answer 1

1.结论OP∥BC是成立的
∵△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO
∴∠APC=2∠APO
∠APC和∠ABC都是弧AC对应的圆周角
∴∠ABC=∠APC=2∠APO
∵∠POB=∠PAO+∠APO=2∠APO
∴∠ABC=∠POB
内错角相等 两直线平行

3.当P,C都在AB上方时，
∵CD⊥AD，OC⊥CD
∴OC∥AD，∴∠POC=∠APO(内错角相等)
∵∠AOP=∠POC，∴∠AOP=∠APO
∴△APO是等边△，△POC也是等边△
根据切线定理，∠DCP=∠POC的一半，等于30°
∴Rt△PDC中，PC=2PD
∵AB=2OC=2PC
∴AB=4PD

Answer 2

（1）当P、C都在AB上方时，判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时，（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时，过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

Answer 3

.当P,C都在AB上方时，
∵CD⊥AD，OC⊥CD
∴OC∥AD，∴∠POC=∠APO(内错角相等)
∵∠AOP=∠POC，∴∠AOP=∠APO
∴△APO是等边△，△POC也是等边△
根据切线定理，∠DCP=∠POC的一半，等于30°
∴Rt△PDC中，PC=2PD
∵AB=2OC=2PC
∴AB=4PD