Question

不等式证明问题，求高手帮忙!满意答案我会献上50分

Answer 1

令 x=a/(a+b+c),y=b/(a+b+c),z=c/(a+b+c).
不等式两边同除 a+b+c, 原不等式可转化为：
已知 x+y+z=1, x,y,z>=0, ( 这里允许 x,y,z 为0）
则：xy/(1+z) +yz/(1+x) + zx/(1+y) <= 1/4

因为 满足 x+y+z=1, x,y,z>=0,的（x,y,z) 形成有界闭集，所以左边有关(x,y,z)的函数
F(x,y,z)=xy/(1+z) +yz/(1+x) + zx/(1+y)
的最大值一定能在某点P=（x0,y0,z0) 达到。
令 1-z0=2k >0. (k>0, 因为 （0，0，1） 不是最大值点。）
考虑函数 f(t)=F(k+t, k-t, z0), -k<= t <= k.
于是 t0= x0-k 是函数f(t) 的最大值点。
下面通过函数变形说明，必然有： t0=0, k, 或 -k.

f(t) = （k^2-t^2)/(1+z0) + z0( y/(1+x) + 1 - 1)+ z0( x/(1+y) + 1 - 1)
=（k^2-t^2)/(1+z0) + z0( 2-z0)(1/(1+x) +1/(1+y)) -2z0
= （k^2-t^2)/(1+z0) + z0( 2-z0)(3-z0)/((1+k)^2-t^2) -2z0
令 (1+k)^2-t^2 = s
则 f(t) = g(s)= As + B/s + C，(1+k)^2-k^2<=s<=(1+k)^2 其中 A>0, B>0 和 C 是常数。
g''(s)>0, 所以g的最大值必然在边界达到。 即 f(t) 的最大值必然在 t^2 的边界达到。即
t0=0, k, 或 -k.

于是 x0=y0, 或者 x0, y0之一为0.

同理， 可得：
x0=z0, 或者 x0, z0之一为0.
y0=z0, 或者 y0, z0之一为0.

于是有 最大值获得的点只可能为 （1/3，1/3，1/3） 或 x,y,z 中 两个1/2, 一个0
容易验证， 这两种情形，F(x,y,z)的值都为 1/4.
所以结论成立。

追问

我们老师是用调和平均数证出来的。你的构造函数法暂时没看懂，我再琢磨下。

追答

好。 这里是用分析的方法做的。大部分文字只是在说明为什么可以这么做。计算部分只有函数变形那段。 A, B, C 只是 可能包含 z0, k 一堆东西， 写起来繁琐，下面处理时也不需要。
这里补充下吧： A= 1/（1+z0), B = z0( 2-z0)(3-z0), C 比较繁，不写啦。

有个小漏洞。
“则 f(t) = g(s)= As + B/s + C，(1+k)^2-k^20, B>0 和 C 是常数。”

应该是 “B>=0”, 然后 用 “g''(s)>=0” 就可以了。

Answer 2

这个很简单啊。先用柯西不等式：（4a+4b+4c)(原式)<=(根号ab+根号bc+根号ac)^2<=（a+b+c）^2，第一步用的柯西不等式，第二步用的根号ab<=((a+b)/2)^2,然后两边同除以（4a+4b+4c)就OK了，不知道为什么你们做得这么复杂