Question

观察下列各式:1×2×3×4+1=25=5的两次方,2×3×4×5+1=121=11的两次方,求证结论的正确性

Answer 1

规律：a×(a+1)×(a+2)×(a+3)+1=[a×(a+3)+1]^2
即四个连续递增的正整数的积加1等于第一个数乘以第四个数加上1的和的平方

证：
[a×(a+3)+1]^=(a^2+3a+1)^2=a^4+(3a+1)^2+2a^2*(3a+1)=
a^4+6a^3+11a^2+6a+1

a×(a+1)×(a+2)×(a+3)+1=(a^2+a)×(a^2+5a+6)+1=a^4+5a^3+6a^2+a^3+5a^2+6a+1=
a^4+6a^3+11a^2+6a+1

或者这样证：
（为方便输入，以N代替A）
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2

Answer 2

设m为大于2的正整数，
令n=m 0.5
原式化为(n-1.5)(n-0.5)(n 0.5)(n 1.5) 1=x^2
(n^2-0.5^2)(n^2-1.5^2)=x^2-1
(n^2-0.25)(n^2-2.25)=x^2-1
设y为n^2-1.25
原式化为
(y 1)(y-1)=x^2-1
因为n=m 0.5
y=(m 0.5)^2-1.25=m^2 m-1
因为m是大于2的正整数，所以y是正整数，x是正整数。

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望采纳，谢谢。

Answer 3

规律：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2
四个连续递增的正整数的积加1等于第一个数乘以第四个数加上1的和的平方

证明：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2
左边=n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2