Question

若向量|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=?

Answer 1

不好意思说明一下：其实楼上两位的解法都是不对的
一楼把向量当成实数来做，也不知怎么还把答案做出来了，神奇！
二楼说的只是向量的特殊位置，该题满足条件的向量有很多对
特殊位置不满足，不代表所有位置都不满足。
令a=icosp+jsinp，b=2(icosq+jsinq)，p、q分别是向量a、b与x轴的夹角
则：a-b=i(cosp-2cosq)+j(sinp-2sinq)
|a-b|^2=(cosp-2cosq)^2+(sinp-2sinq)^2=5-4cos(p-q)
令t=p-q，t为向量a和b的夹角
因为|a-b|=2，所以5-4cost=4，即cost=1/4
而a+b=i(cosp+2cosq)+j(sinp+2sinq)
所以|a+b|^2=(cosp+2cosq)^2+(sinp+2sinq)^2=5+4cost=6
故|a+b|=sqrt(6)

其实这个题不用这么麻烦，上面只是一种做法
最简单的办法就是用数形结合的办法，做向量题画图是很好的方法
画出向量a和b所在的平行四边形，用余弦定理求出a和b的夹角t(也可利用等腰三角形)
2^2+1-2*2*1*cost=4，即cost=1/4
在向量a、b、a+b构成的三角形里再用余弦定理
|a+b|^2=4+1-2*2*1*(-1/4)=6，所以|a+b|=sqrt(6)

Answer 2

我想对 "刘贺great" 说

"笑年1977" 的做法是对的, 只是概念是错的!

如果概念搞对, 那么 "笑年1977" 的做法比解三角形还要优美.

解题须知:
内积 / 点乘 的性质
a.b = b.a
a.a = |a|^2

由给定条件:
a.a = 1
b.b = 4
(a-b).(a-b) = 4
a.a - 2a.b + b.b = 4
1 - 2a.b + 4 = 4
2a.b = 1
a.b = 0.5

解:
(a+b).(a+b)
= a.a + 2a.b + b.b
= 1 + 2(0.5) + 4
= 6
所以 |a+b| = √6

这不是凑巧对的, 题目数字改一改, 这个方法还是行得通的.

Answer 3

条件不可能成立的，不存在这样的a、b
假设a=1,b=2,则|a-b|=1
假设a=-1,b=2,则|a-b|=3
假设a=1,b=-2,则|a-b|=3
假设a=-1,b=-2,则|a-b|=1
所以根本不可能会出现|a-b|=2

Answer 4

|a-b|=2 平方一下
(|a-b|)^2
=(a-b)^2
=a^2-2ab+b^2
=|a|^2-2ab+|b|^2
=1-2ab+4=2^2=4
ab=1/2

|a+b|=√|a+b|^2
=√(a+b)^2
=√(a^2+2ab+b^2)
=√(|a|^2+2ab+|b|^2)
=√(1+2*1/2+4)
=√6