Question

三角形ABC的内切圆圆O与BC,CA,AB分别相切于点D.E.F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm求四边形AFOE的面积

Answer 1

海伦公式：边长分别为a、b、c，三角形的面积S
S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]  而公式里的s为半周长： 
  s=(a+b+c)/2=18
所以:三角形的面积为:S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[18(18-9)(18-14)(18-13)]=18√10

 

三角形的内心与三顶点的连线把三角形分成了三个高为R的小三角形,所以面积为:S=1/2(a+b+c)R=1/2(13+14+9)R=18R
于是:18R=18√10

所以,内切圆的半径为:R=√10

 

所以四边形AEOF面积为（分成两个直角三角形）=4√10

Answer 2

⑴求SΔABC面积。
过A作AM⊥BC于M，则AB^2-BM^2=AM^2=AC^2-(BC-BM)^2，
81-BM^2=169-(196-28BM+BM^2)，BM^2=27/7，
∴SΔABC=1/2*BC*AM=27，
⑵求内切圆半径。
设⊙O的半径为R，
∴SΔABC=SΔOAB+SΔOBC+SΔOAC=1/2R(AB+BC+AC)=18R，
∴R=3/2，
⑶求AF长。
根据切线长定理：设AF=AE=X，BF=BD=Y，CD=CE=Z，
则得方程组：
X+Y=9，
Y+Z=14，
X+Z=13，
解得：X=4，
⑷求面积。
∴S四边形AFOE=2SΔOAF=2×1/2×4×3/2=6。

Answer 3

根据海伦公式得：P=(BC+CA+AB)/2=(14+13+9)/2=18,
三角形ABC的面积=√(p(p-AB)(p-BC)(p-CA))= √(18*9*4*5)=18√10
设三角形ABC的内切圆的半径为r,
则三角形ABC的面积=1/2*r*(9+14+13)=18*r=18√10, r=√10
由余弦定理得cosA=(9^2+13^2-14^2)/(2*9*13)=3/13=1-2sin(A/2)^2=2cos(A/2)^2-1,
解得：sin(A/2)= √5/√13，cos(A/2)=2√2/√13，tan(A/2)= √5/2√2=1/4*√10
AF=r/ tan(A/2)= √10/(1/4*√10)=4
则四边形AFOE的面积=r*AF=4√10

Answer 4

面积1264.911cm²

Answer 5

面积为16cm²