已知虚数z满足|z+1|=|z-i|,且z+4/z∈R,则z等于多少
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设 z = x + y i
| x + y i + 1 | = | x + y i - i |
(x+1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2
2x + 1 = -2y + 1
x = -y ----------(1)
z + 4/z ∈ R
x + y i + 4 / (x + y i) ∈ R
x + y i + 4(x - y i) / (x^2 + y^2) ∈ R
((x + y i)(x^2 + y^2) + 4(x - y i)) / (x^2 + y^2) ∈ R
(4 x + x^3 + x y^2 + i (-4 y + x^2 y + y^3)) / (x^2 + y^2) ∈ R
-4 y + x^2 y + y^3 = 0 且 z != 0
y (-4 + x^2 + y^2) = 0 且 z != 0
若 y = 0, 由(1) 可得 x = 0, 则 z = 0(矛盾)
若 -4 + x^2 + y^2 = 0 则代入(1)可解得:
x = -√2 , y = √2 , z = -√2 + i√2
或
x = √2 , y = -√2 , z = √2 - i√2
| x + y i + 1 | = | x + y i - i |
(x+1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2
2x + 1 = -2y + 1
x = -y ----------(1)
z + 4/z ∈ R
x + y i + 4 / (x + y i) ∈ R
x + y i + 4(x - y i) / (x^2 + y^2) ∈ R
((x + y i)(x^2 + y^2) + 4(x - y i)) / (x^2 + y^2) ∈ R
(4 x + x^3 + x y^2 + i (-4 y + x^2 y + y^3)) / (x^2 + y^2) ∈ R
-4 y + x^2 y + y^3 = 0 且 z != 0
y (-4 + x^2 + y^2) = 0 且 z != 0
若 y = 0, 由(1) 可得 x = 0, 则 z = 0(矛盾)
若 -4 + x^2 + y^2 = 0 则代入(1)可解得:
x = -√2 , y = √2 , z = -√2 + i√2
或
x = √2 , y = -√2 , z = √2 - i√2
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