Question

设函数y=f(x)是定义在R上的增函数,且f(x)≠0,对于任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1）*f（x2）

1、求证f(x)＞0
2、求证f（x1-x2）=f（x1）除以f（x2）
3、若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）

Answer 1

解：（1）证明：令x1=x2=x/2，
则f(x)=f(x/2)•f(x/2)=f2(x/2)，
∵f(x/2)≠0，
∴f2(x/2)＞0，则f（x）＞0．

（2）为防止混淆 你可以把f(x1+x2)=f(x1）*f（x2）看成f(x+y)=f(x）*f(y）对任意的x，y∈R
那么我用这个式子解释
f(x+y)=f(x）*f（y）对任意的x，y∈R
令x=x1-x2 y=x2
这样有 f(x1)=f(x1-x2）*f（x2）
由于在定义域上f(x)≠0
所以f(x1-x2）=f(x1）/f(x2）得证

（3）解：∵f（1）=2，
∴2f（x）=f（1）•f（x）=f（1+x），4f（x）=2•2f（x）=f（1）•f（x+1）=f（x+2）
∴f（3x）＞4f（x）可以变为f（3x）＞f（2+x）
又f（x）在定义域R上是增函数，
∴3x＞2+x
∴x＞1，
故不等式f（3x）＞4f（x）的解集为{x|x＞1}

希望能帮到你，不明白可追问