Question

在等边三角形ABC中,AD垂直BC与点D,一个直径与AD相等的园与BC相切于点E，与AB相切于点F，连接EF

(1）判断EF与AC的位置关系，并说明理由
（2）如图2，过E作BC的垂线，交园于G，连接AC，判断四边形ADEG的形状，并说明理由。
（3）确定圆心O的位置，并说明理由

Answer 1

1.EF//AC

BF=BE, ∠B=60, △BEF为等边三角形

∠BFE=∠BAC=60

EF//AC

2.BE切圆O于E点，过E作BC的垂线，交园于G

则EG过圆心为圆O直径

AD=EG,∠ADE=∠GED=90

ADEG为矩形。

3，图一

连接OF，OB

OB垂直平分EF，OB⊥AC

∠OBF=30,

BO=2OF

BO=AD

等边三角形的三条高都相等

故BO为AC边的高

圆心O在AC的中点。

Answer 2

（1）平行，

    圆心为o，连接OE，OF，

    因为圆O与AB，BC相切，所以角BFO，BEO为90度。

   又因为角B=60度，所以角FOE=120度，OF=OE，所以，角OEF=30度。

   所以角BEF=90-30=60度，又因为角ACB=60度，所以同位角相等，EF与AC平行。

（2）矩形，

    过E作BC的垂线，交园于G，GE垂直BC，又因为E为圆O与BC的切点，OE垂直于BC

    所以OE与 GE重合。G点为圆的一点所以GE为直径，即GE=AD

    因为AD垂直于BC，所以AD平行于GE，平行且相等，ADEG为平行四边形。

    因为GE垂直于DE，所以，平行四边行ADEG为矩形。

（3）过E点做BC的垂线，过F点做AB的垂线，两线交点即为圆心O。

   因为E,F是圆与BC，AB的切点，所以OF垂直于AB，OE垂直于BC，过E,F做的垂涎与OE，OF重合，交点即圆心，AC的中点。

Answer 3

(1）EF∥AC，理由如下：∵E,F为切点，∴BE=BF.又∠B=60º,∴ΔAEF为等边三角形。∴EF∥AC.（2）设圆心为O，∵E是切点，EG⊥BC于E,∴EG过O点为直径。∴EG=AD且EG∥AD,∴四边形ADEG为矩形。（3）∵等腰三角形底边中点到两腰的距离相等，故圆心O的位置在AC的中点。