Question

线性代数的一个证明题,求助

A=
2a 1
a^2 2a 1
a^2 2a 1
…………………………
a^2 2a 1
a^2 2a
然后要证明|A|=(n+1)a^n
用数学归纳法,用这种形式的要怎么写:
验证n=1时成立;
设n=k时也成立
证明n=k+1时也成立
还有解题思路,要详细点哦.

Answer 1

证明: D1 = 2a
假设 n<k 时成立 --第二种归纳法
则 n=k 时
按第1行展开得递归关系
Dk = 2aDk-1 - a^2Dk-2
= 2a[ka^(k-1)] - a^2[(k-1)a^(k-2)]
= 2k a^k - (k-1) a^k
= (k+1) a^k.
所以对所有自然数n 有 Dn = (n+1)a^n.

追问

第二种看的不是很懂呢.老师可说详细点不?我是14年考研学生

追答

因为递归关系不仅涉及Dn-1, 还涉及Dn-2
所以,归纳假设时 不是设n=k-1成立推出Dk成立
而是要设 n<k 时成立, 推出 Dk 成立
记住这个模式就行了

追问

还有我在李永乐的复习全解里面看到行列式的性质式那章节,有 若A~B,有|A|=|B|,这个是错的吧?
在第360页

追答

A~B 是指什么? 相似则正确, 等价则不对
PS. 新问题请另提问

Answer 2

安第一行展开
D_n=2aD_(n-1)-a^2D_(n-2)