Question

设p是椭圆x4+y=1上任意一点，则p到直线2x-3y+8=0的距离最大值

老师说设p（2cosα,sinα）,为什么？
椭圆方程是x平方除以4+y方=1

Answer 1

解：法一）这是椭圆的参数方程的设法。椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1的参数方程为x=acosα,y=bsinα
x^2/4+y^2=1的参数方程：x=2cosα,y=sinα,
则p到直线2x-3y+8=0的距离为d=|2x2cosα-3sinα+8|/√(2^2+(-3)^2)=|5cos(α-r)+8|/√13
p到直线2x-3y+8=0的距离最大值为d=13/√13=√13
法二）设与直线2x-3y+8=0平行且与椭圆x^2/4+y^2=1相切的直线方程为2x-3y+m=0(m≠8）
联立直线方程2x-3y+m=0与椭圆方程x^2/4+y^2=1可得25x^2+16mx+4m^2-36=0
因为直线2x-3y+m=0与椭圆x^2/4+y^2=1相切，
所以△=（16m)^2-4x25(4m^2-36)=144(25-m^2)=0解得m=-5或m=5
当m=-5时直线2x-3y+8=0与椭圆方程x^2/4+y^2=1的最大距离为d=|-5-8|/√(2^2+(-3)^2)=√13

Answer 2

椭圆方程：x²/4+y²=1
即(x/2)²+y²=1
∵cos²α+sin²α=1恒成立
∴可设x/2=cosα，y=sinα
即x=2cosα，y=sinα
∴p点坐标为（2cosα,sinα）

Answer 3

这是椭圆的参数方程。椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1的参数方程为x=acosα,y=bsinα
x^2/4+y^2=1的参数方程：x=2cosα,y=sinα,再用点到直线的距离公式就可算了。