Question

已知数列{an}的首项a1=3/5,an+1=(3an)/(2an+1),n=1,2...

(1)求证：数列｛(1/an)-1｝为等比数列
（2）记Sn=1/a1+1/a2+...+1/an,求等比数列
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am-1，as-1，an-1成等比数列？如果存在，请给出证明

Answer 1

1.
a(n+1)=3an/(2an +1)
1/a(n+1)=(2an +1)/(3an)
1/a(n+1) -1=(2an +1-3an)/(3an)=(-an +1)/(3an)=(1/3)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/3，为定值。
1/a1 -1=1/(3/5) -1=2/3
数列{1/an -1}是以1/3为首项，1/3为公比的等比数列。
(2)
1/an -1=(2/3)×(1/3)^(n-1)=2/3ⁿ
1/an =1+ 2/3ⁿ
Sn=1/a1+1/a2+...+1/an
=n +2(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ)
=n+2×(1/3)×(1-1/3ⁿ)/(1-1/3)
=n +1 -1/3ⁿ
(3)
1/an=1+ 2/3ⁿ=(3ⁿ+2)/3ⁿ
an=3ⁿ/(3ⁿ+2)
m，s，n成等差数列，则2S=m+n
下面实在看不懂了，不知道是a(m-1)，a(s-1)，a(n-1)还是am -1，as -1，an -1?