Question

f（x）=定积分（上限2x，下限0）f（t／2）d（t）+ln2，求f（x）

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

令t/2=y,t=2y
dt=2dy
t=0,y=0
t=2x,y=x
则
∫[0,2x]（t／2）d（t）
=∫[0,x] f(y)*2dy
原式化为
f(x)=2∫[0,x] f(y)dy+ln2
两边求导得
f'(x)=2f(x)
解得
f(x)=e^2x+C
再代入原方程得
e^2x+C=∫[0,2x] (e^t+C)dt+ln2
=(e^t+Ct)∫[0,2x] +ln2
=e^2x+2Cx-1+ln2
整理得
C(1-2x)=ln2-1
C=(ln2-1)/(1-2x)
f(x)=e^2x+(ln2-1)/(1-2x)