Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．

如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由；
（3）设BE=x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

求详解

Answer 1

Answer 2

∵Rt△AMB∽Rt△EFB，∴BF/BM=EF/AM=EB/AB
∵AB=5，AM=4，∴BM=√(5²-4²)=3，∵BE=x，
∴BF/3=EF/4=x/5，即BF=3x/5，EF=4x/5，
故△EFB的面积S1=(1/2)×BF×EF=6x²/25，
∵EC=10-x，△CDE中EC上的高=AM=4，
∴△CDE的面积S2=(1/2)×EC×AM=2(10-x)。
设平行四边形ABCD中AB边上的高为h，
由平行四边形面积公式得AB×h=BC×AM，即5h=10×4=40，∴h=8，
∵AF=AB-BF=5-3x/5
∴△AFD的面积S3=(1/2)×AF×h=4(5-3x/5)，
故y=40-S1-S2-S3=40-6x²/25-2(10-x)-4(5-3x/5)=-6x²/25+22x/5 (0<x<10)，
当x=-(22/5)/[2×(-6/25)]=55/6时，y有最大值，y(max)=121/6

我是复制别人的答案。，自己照着做一下。