计算三重积分∫∫∫zdxdydz,其中V由x2+y2≤z≤1+ √(1-x2-y2)所确定
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解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫<r²,1+√(1-r²)>zdz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>r[(1+√(1-r²))²-r^4]/2dr
=(π/2)∫<0,1>[2+2√(1-r²)-r²-r^4]d(r²)
=(π/2)[2r²-(4/3)(1-r²)^(3/2)-r^4/2-r^6/3]│<0,1>
=(π/2)(2+4/3-1/2-1/3)
=5π/4。
=2π∫<0,1>r[(1+√(1-r²))²-r^4]/2dr
=(π/2)∫<0,1>[2+2√(1-r²)-r²-r^4]d(r²)
=(π/2)[2r²-(4/3)(1-r²)^(3/2)-r^4/2-r^6/3]│<0,1>
=(π/2)(2+4/3-1/2-1/3)
=5π/4。
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