Question

已知函数f(x)=(a-1/2)x^2+lnx （a∈R）若存在x∈[1,3],使f(x)<(x+1)lnx成立,求实数a的取值范围

求解！（过程稍微详细点）谢谢！！

Answer 1

(a-1/2)x^2+lnx <(x+1)lnx
移项得
(a-1/2)x^2-xlnx<0
x[(a-1/2)x-lnx]<0
x∈[1,3],所以x>0
(a-1/2)x-lnx<0
解得a<lnx/x+1/2
因为只需存在x∈[1,3],使不等式成立，所以只需求得lnx/x+1/2在[1,3]上的最大值即可。
对lnx/x求导得，（1-lnx）/x^2,令其等0得x=e。在[1,e]上，导数大于0，在[e,3]上，导数小于0.所以lnx/x在[1,3]上先增后减，那么最大值e点的值即可。
lne/e=1/e
所以a<1/e+1/2

Answer 2

首先我觉得这道题应该证：f(x)≤(x+1)lnx
f(x)≤(x+1)lnx，即(a-1/2)x^2+lnx ≤(x+1)lnx成立 ∴（a-1/2)x^2≤xlnx≤xlnx
设M(X)=（a-1/2)x^2；N(X)=xlnx
N(X)的导数=lnx+1在x∈[1,3]上＞0恒成立，所以单调递增
所以N(X）≥N(1)=0
若（a-1/2)x^2≤xlnx，即（a-1/2)x^2≤0，∴a≤1/2

Answer 3

注意恒成立问题和存在性问题的区别，高考热点。