Question

1．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F(0， 1 4 )的距离比点P到x轴的距离大 1 4 ，设动点P的轨迹为曲线C

1．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F(0，1|4 ）
)的距离比点P到x轴的距离大1|4 ，设动点P的轨迹为曲线C，直线l：y=kx+1交曲线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；

Answer 1

　　解：i)由题，不妨设P(x,y)，则有

　　√[x²+(y-1/4)²]=lyl+1/4

　　两边平方，有

　　x²+(y-1/4)²=y²+1/2·lyl+1/16

　　即x²-1/2(y+lyl)=0

　　若y≥0，有

　　y=x²

　　若y＜0，有

　　x²=0

　　即x=0(y轴负半轴)

　　ii)证明:易知L与y轴负半轴无交点

　　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),N(x0,y?)

　　将y=kx+1带入y=x²，有

　　x²-kx-1=0

　　由韦达定理，有

　　x1+x2=k,x1x2=-1

　　∴x0=k/2

　　将x0=k/2带入y=x²，有y=k²/4

　　对C在点N处的斜率进行讨论，显然斜率存在(题目不严密，应指X轴上半部分曲线的切线)

　　不妨设该切线:y-k²/4=m(x-k/2)，即y=mx-mk/2+k²/4，带入y=x²，有

　　x²-mx+mk/2-k²/4=0

　　由相切，有

　　△=m²-2mk+k²=(m-k)²=0

　　∴m=k

　　即L与切线平行

　　原命题得证.