Question

证明关于行列式的不等式

Answer 1

以M*表示矩阵M转置的复共轭.
设A11, A22分别为m阶和n阶方阵, 分别记m阶和n阶单位阵为Em, En.
由A是正定Hermite矩阵, A11和A22也为正定Hermite矩阵.
存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q, 使A11 = P*·P, A22 = Q*·Q.
设分块矩阵S =
P 0
0 Q
则S*·S =
A11 0
0 A22
有|S*|·|S| = |A11|·|A22| > 0.
考虑B = (S*)^(-1)AS^(-1) =
Em C
C* En
可知B为正定Hermite矩阵, 且对角线元素之和tr(B) = m+n.
B的m+n个特征值均为正实数, 且特征值之和 = tr(B) = m+n.
由均值不等式, 0 < |B| = B的特征值之积 ≤ (特征值之和/(m+n))^(m+n) = 1.
于是由A = S*BS, 有|A| = |S*|·|B|·|S| ≤ |S*|·|S| = |A11|·|A22|.