Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0（m∈R） 1 .若此方程表示圆，求m的取值范围

2.若1中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点。且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值

Answer 1

(1)
x²+y²-2x-4y+m=0
(x-1)²+(y-2)²=5-m
因为方程表示圆
所以5-m＞0
所以m＜5
(2)
把x=4-2y代入圆方程得
(4-2y-1)²+(y-2)²=5-m
即5y²-16y+m+8=0
所以y1+y2=16/5,y1y2=(m+8)/5
设M(x1,y1),N(x2,y2)
因为OM⊥ON
那么x1x2+y1y2=0
即(4-2y1)(4-2y2)+y1y2=0
即5y1y2-8(y1+y2)+16=0
所以5*(m+8)/5-8*16/5+16=0
解得m=8/5

Answer 2

1、x²+y²-2x-4y+m=0
(x-1)²+(y-2)²=5-m
5-m>0
m<5
2、{(x-1)²+(y-2)²=5-m，x+2y-4=0
解得：{x=-1+√(9-2m),y=[5+√(9-2m)]/2;x=-1-√(9-2m),y=[5-√(9-2m)]/2
∵OM⊥ON,OM=ON
∴MN²=2OM²
{[5+√(9-2m)]/2-[5-√(9-2m)]/2}²+{-1+√(9-2m)-[-1-√(9-2m)]}²=2(5-m)
9-2m+4(9-2m)=2(5-m)
m=35/8