Question

如图，在三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点I。（1），如图，当∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于

如图，在三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点I。（1），如图，当∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点I时，∠A和∠BIC有什么关系？并说明理由。
（2），如图，当∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线相交于点I时，∠A与∠I又有何关系呢？并说明理由。

Answer 1

1、解：在AB的延长线上取点E，在AC的延长线上取点F （只是为了表达方便）
∵∠CBE＝∠A+∠ACB。BI平分∠CBE
∴∠CBI＝∠CBE/2＝（∠A+∠ACB）/2
∵∠BCF＝∠A+∠ABC，CI平分∠BCF
∴∠BCI＝∠BCF/2＝（∠A+∠ABC）/2
∴∠BIC＝180-（∠CBI+∠BCI）
＝180-[（∠A+∠ABC）/2+（∠A+∠ACB）/2]
＝180-[∠A+（∠ABC+∠ACB）/2]
＝180-[∠A+（180-∠A）/2]
＝90-∠A/2
2、在BC的延长线上取点D （只是为了表达方便）
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，CI平分∠ACD
∴∠ICD＝∠ACD/2＝（∠A+∠ABC）/2
∵BI平分∠ABC
∴∠IBC＝∠ABC/2
∴∠ICD＝∠BIC+∠IBC＝∠BIC+∠ABC/2
∴∠BIC+∠ABC/2＝（∠A+∠ABC）/2
∴∠BIC＝∠A/2

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Answer 2

（1）
由三角形内角和为180°得
∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∠BIC+½（180°-∠ABC）+½（180°-∠ACB）=180°
综合两等式，约去（∠ABC+∠ACB），得∠A与∠BIC关系为：∠A=180°-2∠BIC
（2）
设BC延长线上一点为D，由三角形一个外角等于其他内角和，
则∠ICD=∠I+∠IBC，∠ACD=2∠ICD=∠A+∠ABC，且由题目已知有∠ABC=2∠IBC
综合两等式，2∠ICD=∠A+∠ABC=2（∠I+∠IBC），得∠A与∠I关系为：∠A=2∠I