Question

已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．

（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．

Answer 1

解：（1）作MN⊥AD交AD于N

               ∵ ∠1=∠2，DM为公共边

               ∴Rt△DCM≌Rt△DNM

               ∴MN=MC=MB

               又：AM为公共边

               ∴Rt△ABM≌Rt△ANM

               ∴∠3=∠4

               ∴AM平分∠BAD

          （2）DM⊥AM，理由如下：

                ∵∠B=∠C=90°

                ∴ DC//AB

                ∴∠BAD=∠CDA=180°

                ∵∠1=∠2,∠3=∠4

                ∴∠1+∠3=90°

                ∴△ADM是直角三角形

                ∴∠DMA=90°

                ∴DM⊥AM

Answer 2

⑴延长DM交AB的延长线于N，
∵∠C=∠B=90°，∴AB∥CD，∴∠2=∠N，∠C=∠MBN=90°，
∵MC=MB，∴ΔMCD≌ΔMBN，∴MD=MN，
∵∠1=∠N，∴AN=AD，
∴∠3=∠4(等腰三角形三线合一)，
即AM平分∠BAD。
⑵∵AN=AD，MD=MN，
∴AM⊥DN(等腰三角形三线合一)。

Answer 3

解：（1）作辅助线MN，使MN平行于CD且N点在AD上
角2等于角DMN；角1等于角2:；
所以DN=MN；因为M是中点，所以N也是中点。
AN=ND；故MN=AN；所以角3=∠NMA；有因为∠NMA=∠4；所以角三等于角四；
综上所示，平分~~~
（2）
四边形内角和360°
由题意可知，∠1+∠2+∠3+角四=180°
角一等于角二，角三等于角四；所以角一+角三=90°
所以∠DMA=90°，垂直~~~
打字乱七八糟的，谅解~~~

Answer 4

已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．考点：角平分线的性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，从而证明AM平分∠DAB；
（2）利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3=90°，所以两直线垂直．解答：解：（1）AM平分∠DAB．
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC
∴∠1=∠2，MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵MC=MB，∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）AM⊥DM，理由如下：
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1=1 2 ∠CDA，∠3=1 2 DAB（角平分线定义）
∴2∠1+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°，
∴∠AMD=90度．即AM⊥DM．点评：本题主要考查了垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质和它的逆定理，及平行线的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键

Answer 5

取AD中点N，连接MN，则MN是直角梯形ABCD的中位线，
可得：MN∥AB∥CD；
则有：∠NMA
=
∠BAM
，∠NMD
=
∠CDM
；
（1）
已知：DM平分∠ADC，
即有：∠CDM
=
∠ADM
，
可得：∠NMD
=
∠CDM
=
∠NDM
，
则有：NM
=
ND
=
NA
，
可得：∠NAM
=
∠NMA
=
∠BAM
，
即有：AM平分∠DAB；
（2）
∠AMD
=
∠NMA+∠NMD
=
(1/2)[(∠NAM+∠NMA)+(∠NMD+∠NDM)]
=
(1/2)(∠NAM+∠AMD+∠NDM)
=
(1/2)*180°
=
90°
（3）
延长AM，交DC延长线于点E，
因为，在△ABM和△ECM中，∠AMB
=
∠EMC
，BM
=
CM
，∠ABM
=
90°
=
∠ECM
，
所以，△ABM
≌
△ECM
，
可得：AB
=
CE
，∠BAM
=
∠CEM
；
因为，∠DAM
=
∠BAM
=
∠DEM
，
所以，AD
=
DE
=
CD+CE
=
CD+AB
。