Question

如图在三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC上的一点,

以CD为斜边在△ABC外做等腰RT△CDM，N是BD的中点，连MN，AM，试说明MN于AN之间的关系

Answer 1

相等并且垂直。

给你个思路，做两条辅助线，垂足分别为E，F。

然后证明两个直角三角形ANE和NMF全等。

全等的条件：SAS：

                                AE=NF

                                ∠AEN=∠NFM=90°

                               NE=MF

通过全等即可推出：AN=NM

                              以及∠MNF=∠NAE,进而推出∠MNF和∠ANE互余，所以∠ANM=90°，AN

⊥NM

 

而要证明  AE=NF和  NE=MF，则可通过如下思路。可理解D是BC上的任意一点，则点D分割BC形成的BD,DC的各自一半之和（N是BD的中点，F是DC的中点），必定等于BC的一半。

 

如果仍然想不明白，可追问，我再详细补充。

Answer 2

过A做AE⊥BC，过M做MF⊥BC，因为三角形ABC为等腰直角三角形，所以E为BC的中点，同理F为CD的中点，所以NE=BE-BN=1/2BC-1/2BD=1/2CD=MF,NF=ND+DF=1/2BD+1/2CD=1/2BC=AE,所以三角形AEN与三角形NMF全等. 所以AN=MN，角MNF=角NAE，所以角MNF+角ANE=90°，所以AN⊥MN

Answer 3

AN=AM.

证明：作DM'//AB交AC于M'，设AM'中点为E.
容易证明△NM'C与△NMC全等，所以NM=NM'
∵N为BD中点，E为M'中点
∴NE//AB.
∴NE⊥AC，故AN=AM'=AM.

Answer 4

作MF⊥BC于F
设CF=DF=MF=x,DN=BN=y
由条件可得CM=(√2)x,AC=√2（x+y)
MN=√[(x²+(x+y)²]
AM=√2[√[(x²+(x+y)²]]
所以AM=√2MN

追问

我才初二而且用几何的方法

追答

就用了勾股定理，

追问

没学sorry

Answer 5

MN^2=(BC/2)^2+CD^2/4=AN^2
MN=AN