Question

求极限lim(x→0) (e^x-x-1)/x

不用洛必达法则

Answer 1

原式=lim [x→0] [(e^x-1)/x-1]
设e^x-1=t,
e^x=1+t,
x=ln(1+t),
当x→0时,t→0,
lim [x→0] [(e^x-1)/x]=lim [t→0] {t/[ln(1+t)]
=lim [t→0] {1/[ln(1+t)^(1/t)]
=1/lne
=1/1
=1,
∴原式=lim [x→0] [(e^x-1)/x-1]
=1-1=0.

追问

第一行原式=lim [x→0] [(e^x-1)/x-1]，为什么？

追答

(e^x-x-1)/x=(e^x-1)/x-x/x=[(e^x-1)/x]-1,拆成两项,第二项 x/x=1,
再用重要极限lim [t→0][(1+t)^(1/t)]=e,
lne=1,
1-1=0.

追问

lim [t→0] {1/[ln(1 t)^(1/t)]=1/lne

追答

lim [t→0] {1/[ln(1+t)^(1/t)]=1/lne,这是两个重要极限之一,lim [x→∞](1+1/x)^x=e,或lim [x→0](1+x)^(1/x)=e,

追问

如果不用到这两条式，不用泰勒公式，不用洛必达法则，这题做不出来对吗？

追答

目前我还没有想到第4种方法.

Answer 2

用泰勒公式，将 e^x 在 x=0 处展开，取前三项，略去余项，有 e^x ≈ 1+x+x^2/2 ，
因此极限=lim (x^2/2)/x=0 。

Answer 3

先运用极限的运算法则将分子拆分成e＾x－1和x,再运用等价代换将e＾x-1换成x,则极限可解，为零。

Answer 4

直接用泰勒展开好了，e^x = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + ...

所以结果是0啊

Answer 5

(e~x-x-1)/x=[(e~x-x)-(e~0-0)]/(x-0)=(e~x-x)' (x→0)。当x=0，代入式子得，原式=0。

追问

明白了，谢谢