Question

O为△ABC内一点，常数x，y，z满足xOA yOB zOC=0（均为向量），证明 △OBC△OCA△OAB的面积比为x：y：z

Answer 1

方法一：因为xOA+yOB+zOC=0
那么设xOA=OA'.............①
yOB=OB'.............②
zOC=OC'.............③
则易知O为△A'B'C'的重心
所以有S△OA'B'=S△OB'C'=S△OA'C'
代入①,②,③用面积正弦定理展开就得到
x:y:z=S△OBC:S△OCA:S△OAB
故结论成立

方法二：因为xOA+yOB+zOC=0
OA+y/xOB+z/xOC=0
设y/xOB=OD,z/xOC=OE
所以OA+OD+OE=0
所以O为△ADE的重心
所以设S△AOD=S△AOE=S△DOE=M
所以S△AOB=x/yM
S△AOC=x/zM
S△BOC=x^2/(y*z)M
所以S△OBC:S△OCA:S△OAB=x:y:z

其实两个办法的道理完全一样的

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