Question

设函数f(x)在[A,B]上连续,证明lim(h→0) 1/h*∫(x,a)[f(t+h)-f(t)]dt=f(x)-f(a),其中A<a<x<B

不是证明，而是求出解为f(x)-f(a),要过程

Answer 1

由导数定义：lim(h->0)[f(t+h)-f(t)]/h=f '(t)
因为f(x)在[A,B]上连续，[f(t+h)-f(t)]/h也在[A,B]上连续
则lim(h→0) 1/h*∫(x,a)[f(t+h)-f(t)]dt=∫(x,a)lim(h->0)[f(t+h)-f(t)]/hdt=∫(x,a)f '(t)dt=f(x)-f(a)
(此处积分运算和极限运算交换了次序)
(如果是数学专业，建议翻看级数收敛那一章)

Answer 2

这位同学回答的不对~这里的[f(t+h)-f(h)]/h不等于f'(t)因为不知道f(x)可不可导，条件只说了连续~这题老师刚刚说过~这样做答案对了但是过程错了。