Question

数列｛an｝的通项公式为an=2n+1,n为奇数，2^n,n为偶数，求此数列的前n项和Sn

数列｛an｝的通项公式为an=2n+1,n为奇数，2^n,n为偶数，求此数列的前n项和Sn

Answer 1

若n为偶数，则Sn=(3+7+11+...+(2(n-1)+1))+(2^2+2^4+2^6+...2^n)
这个式子有两部分，前面为首项3公差4项数n/2的等差数列，后面为首项4公比4项数n/2的等比数列
前面的和为3(n/2)+(n/2)(n/2-1)*4/2=(n^2+n)/2
后面的和为4(1-4^(n/2))/(1-4)=4/3(1-4^(n/2))
故Sn=(n^2+n)/2+4/3(1-4^(n/2))
若n为奇数，则n-1为偶数
S(n-1)=[(n-1)^2+(n-1)]/2+4/3[1-4^((n-1)/2)]=(n^2-n)/2+4/3[1-4^((n-1)/2)]
Sn=S(n-1)+an=(n^2-n)/2+4/3[1-4^((n-1)/2)]+2^n
基本所有对于奇偶不同定义，求前n项和的题目，都是这样分组求和

追问

Sn=S(n-1)+an=(n^2-n)/2+4/3[1-4^((n-1)/2)]+2^n这一步可不可以直接写成Sn=(n^2+n)/2+4/3(1-4^(n/2))？

追答

不对啊，这里的n是定义为奇数的，与偶数的情况不一样

Answer 2

解：（1）当n为奇数时，其中有n-12项为偶数项，n+12项为奇数项，（1分）
偶数项是以b1=9为首项，q=32=9 的等比数列，
故偶数项的和Sn =
9( 1-9n-12)1-9=
98(3n-1-1) （5分）
奇数项是以c1=2×1-1=1 为首项，d=2×2=4 为公差的等差数列，
故奇数项的和sn=n+
n+12(
n+12-1)2×4=
(n+1)22-1，（7分）
则{an}的前n项之和Sn =
(n+1)22-1+
98(3n-1-1)（n为奇数） （8分）
（2）当n为偶数时，其中有n2项为偶数项，n2为奇数项，（9分）
故偶数项的和Sn =
9( 1-9n2)1-9=
98(3n-1)，（11分）
奇数项的和sn=n+
n2(
n2-1)2×4=
n22，
则{an}的前n项之和Sn =
98(3n-1) +
n22（n为偶数）．