Question

已知函数fx=|x-a|,gx=x^2+2ax+1(a为正实数),且函数fx与gx的图像在Y轴上的截距相等（1）求a（2）对于

函数fx及其定义域D，若存在xo属于D，使Fxo等于xo成立，则xo为Fxo的不动点，若fx加gx加b在其定义域内存在不动点，求实数b的取值范围。

Answer 1

（1）函数在y轴上的截距即为x=0时的函数值
f(x)与g(x)的截距相等，则有 f(0)=g(0)
即|0-a|=|a|=0+0+1 => a=1 (a为正实数)
∴ a的值为1
（2）设h(x)=f(x)+g(x)+b
设存在不动点x0，则有 h(x0)=f(x0)+g(x0)+b=x0
即 |x0-1|+x0^2+2x0+1+b=x0
若x0≥1，则有 x0-1+x0^2+2x0+1+b=x0，即x0^2+2x0+b=0
存在x0，则上述方程有解，即△=4-4b≥0
∴此时，b的取值范围为 b≤1
若x0<1，则有1-x0+x0^2+2x0+1+b=x0，即x0^2+2+b=0
存在x0，则上述方程有解，即△=0-4(2+b)≥0
∴此时，b的取值范围为 b≤-2
综上所述，取并集得b的取值范围为 b≤1