Question

已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且焦距为6.求椭圆的标准方程。

求若直线l的斜率为1，经过椭圆的左焦点与椭圆交于A,B两点，求以AB为直径的圆方程。

Answer 1

因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上
所以设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
因为长轴长是短轴长的2倍，且焦距为6
所以2a=2*2b，且a^2-b^2=(6/2)^2
所以a=2√3，b=√3
所以椭圆方程为x^2/12+y^2/3=1
所以椭圆左焦点为(-3,0)
所以直线方程为y=x+3
将直线方程代入椭圆方程：x^2/12+(x+3)^2/3=1
化简得，5x^2+24x+24=0
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
则x1+x2=-24/5，x1x2=24/5
所以y1+y2=x1+x2+6=-24/5+6=6/5
所以AB中点的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，即圆心(-12/5,3/5)
|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√[(x1-x2)^2+(x1+3-x2-3)^2]
=√[2(x1-x2)^2]=√[2(x1+x2)^2-8x1x2]
=√[2(-24/5)^2-8*24/5]
=√(192/25)=(8/5)√3
所以半径=(4/5)√3
所以以AB为直径的圆的方程为(x+12/5)^2+(y-3/5)^2=48/25

Answer 2

因为 a=2b, a²-b²=6²
所以 a²=48 , b²=12
椭圆方程是：x²/48+y²/12=1

追问

求若直线l的斜率为1，经过椭圆的左焦点与椭圆交于A,B两点，求以AB为直径的圆方程。

追答

不好意思，c=3
因为 a=2b, a²-b²=3²
所以 a²=12 , b²=3
椭圆方程是：x²/12+y²/3=1

左焦点坐标是（-3，0）
L方程是:y=x+3
将上式代入椭圆方程：x²/12+（x+3)²/3=1
得到L与椭圆交点
然后可以得到AB中点（圆心）坐标，AB长度（直径）
方程可以得出。