Question

已知函数f(x)=e^x*(cosx-sinx),，求导f'(x)

为什么我的做法不对:f(x)=e^x*(cosx-sinx)=e^x根号2(1/根号2*cosx-1/根号2*sinx) 就是配角公式==>f(x)=根号2*e^x*sin(π/4-x) 再求导f'(x)=根号2e^x*cos(π/4-x)+根号2*e^x*sin(π/4-x)再配角===>f'(x)=2e^x*cosx

可答案是直接在f(x)=e^x*(cosx-sinx)上求导
得f'(x)=-2e^x*sinx
请问怎么回事

Answer 1

前面f(x)的配角公式的转换是可行的，到后面求导的时候忽略的复合函数求导法则
f'(x)=根号2e^x*cos(π/4-x)+根号2*e^x*sin(π/4-x)
应该是
f'(x)=根号2e^x*（-cos(π/4-x)）+根号2*e^x*sin(π/4-x)
【注：sin(π/4-x)由sinu, u=π/4-x复合而成。
（sin(π/4-x)）′=sinu′• u′=cos(π/4-x) •（π/4-x）′=-cos(π/4-x). 】
f'(x)=√2e^x*(sin(π/4-x)-cos(π/4-x))
=2e^x*(1/√2sin(π/4-x)-1/√2cos(π/4-x))
=2e^x*sin[(π/4-x)-π/4]
=-2e^x*sinx

Answer 2

解：∵f(x)=e^x*(cosx-sinx)
∴f'(x)=(e^x)'(cosx-sinx)+e^x(cosx-sinx)'
=e^x(cosx-sinx)+e^x(-sinx-cosx)
=e^xcosx-e^xsinx-e^xsinx-e^xcosx
=-2e^xsinx

追问

我问的是我的方法为什么不行。。我知道答案。

追答

方法是可行的，但你在求导时错了，我从f(x)=√2e^x(sin(π/4-x)的求导算起：
f'(x)=√2(e^x)'sin(π/4-x)+√2e^x[sin(π/4-x)]'
=√2e^xsin(π/4-x)+√2e^xcos(π/4-x)(π/4-x)'
=√2e^xsin(π/4-x)-√2e^xcos(π/4-x)
=√2e^x[(√2/2cosx-√2/2sinx)-(√2/2cosx+√2/2sinx)]
=√2(e^x)(√2/2)(conx-sinx-cosx-sinx)
=-2e^xsinx
∴结果是一样的，错在哪，你应该知道了吧？
一般对函数求导不用那样去配方，直接求导既不容易错又节约时间，但对复合函数一般不要省略步骤，把所有要求的函数全部求一遍导数。