Question

设函数F(x)=xln(e^x+1)-1/2x^2+3.x∈[-t,t](t>0),若函数f(x)的最大值是M,最小值是m,则M+m的值为

Answer 1

f(x)=xln(e^x+1)-1/2*x^2+3
设g(x)=f(x)-3=xln(e^x+1)-1/2*x^2
f(x)的最大值为M，最小值为m，则
g(x)的最大值为p=M-3，最小值为q=m-3
∵g(-x)=-xln[e^(-x)+1]-1/2*x^2
=-xln(e^x+1)+xlne^x-1/2*x^2
=-xln(e^x+1)+x^2-1/2*x^2
=-xln(e^x+1)+1/2*x^2
=-g(x)
∴g(x)为奇函数
在对称区间x∈[-t,t]上，因g(x)为奇函数
对任意x∈[-t,t]，若g(-x)为最大值p，则g(x)为最小值q，反之亦然
∴由奇函数的对称性，总有p+q=0
即M-3+m-3=0，即M+m=6

Answer 2

解：求导函数，可得f'（x）=ln（ex+1）-xex+1=1ex+1[exln（ex+1）+ln（ex+1）-lnex]
又因为当x∈[-t，t]时，ex+1＞1＞0，又因为ln（ex+1）-lnex＞0，所以f'（x）＞0恒成立
故该函数在[-t，t]上单调增，故有：M=f（x）max=f（t），m=f（x）min=f（-t）
∴M+m=f（t）+f（-t）=tln（et+1）-12t2+3-tln（e-t+1）-12t2+3=3+3=6
故答案为：6

追问

先问你一个问题:函数求导f'(x)=ln(e^x+1)+xe^x/(e^x+1)-x吗?