Question

求函数y=x2+2x+4/x在区间[1/4,4]的值域

Answer 1

y=(x²+2x+4)/x
=x +4/x +2
由均值不等式得x=4/x时，即x=2时，y有最小值6
令x=1/4，得y=1/4 +16+2=73/4
令x=4，得y=4+1+2=7
即当x=1/4时，y有最大值ymax=73/4
函数的值域为[6，73/4]。

追问

求函数y=x-2根号下1-x的值域用换元发怎么求啊

追答

y=x-2√(1-x)
算术平方根有意义，1-x≥0 x≤1
y=x-2√(1-x)
=x-1 -2√(1-x) +1
=-(1-x) -2√(1-x)+1
令√(1-x)=t (t≥0)，则y=-t²-2t+1
y=-t²-2t-1+2=-(t+1)²+2
当t=0时，y有最大值ymax=1
当t->+ ∞时，y->-∞
函数的值域为(-∞，1]。

Answer 2

y=x2+2x+4/x
y'=2x+2-4/x²=2(x³+x²-2)/x²
=2(x-1)(x²+2x+2)/x²
=2(x-1)[(x+1)²+1]/x²
∵x∈[1/4,4]
∴x∈[1/4,1),f'(x)<0,f(x)递减
x∈(1,4],f'(x)>0,f(x)递增
∴f(x)min=f(1)=7
又f(4)=16+8+1=25
f(1/4)=1/16+1/2+16<f(4)
∴f(x)max=f(4)=25
∴f(x)值域为[7,25]
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