Question

求解答集合题

如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．
（1）若BF=BD=√2（根号2）
，求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．

Answer 1

（1）由四边形ABCD正方形，BF=BD=
2，由勾股定理即可求得BC的长，又由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；
（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易证得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易证得△DHI为等边三角形，即可得DH=HI，继而可得FH=HE+HD．解答：（1）解：∵四边形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，
∴Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
即BC2=（2）2+（2）2，
∴BC=AB=1，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵∠ADE=∠CDFAD=DC∠A=∠DCF=90°​，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=2-1，
∴BE=AB-AE=1-（2-1）=2-2；

（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理），
在△DEH和△DFI中，
∵DE=DF∠DEH=∠DFIEH=FI​，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=12∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴FH=FI+HI=HE+HD．

Answer 2

（1）因为DF⊥DE，BF⊥BE，所以BFDE四点共圆，∠DFE＝∠DBE＝45°；
又BF=BD，故∠BFD=∠BDF=(180°-∠CBD)/2=(180°-45°)/2=67.5°，∠CDF=∠CFD=67.5°-45°=22.5°；
∴△CDF∽△CFG，CG/CF=CF/CD，CG=CF^2/CD=(BF-BC)^2/BC=(√2-1)^2/1=3-2√2；
由△BFE∽△CFG，得BE=CG*(BF/CF)=(3-2√2)*[√2/(√2-1)]=2-√2；
（2）若∠ADE=2∠BFE，则∠ADE=2∠BDE，∠ADE=30°，∠BDE=∠BFE=15°；
由 DF⊥DE，得：∠CDF=90-∠BDC-∠BDE=90°-45°-15°=30°；
作∠CDF的平分线交FH于M，则△DFM≌△DHE，∴MF=HE；（DF=DE,∠FDM=∠EDH=15°,∠DFM=∠DEH=45°）
∠DMH=∠DHM=∠DEH+∠EDH=15°+45°=60°，△DEM是等边三角形，HD=HM；
∴FH=FM+HM=HE+HD；