Question

设sinA是sinB.cosB的等差中项,sinC是sinB.cosB的等比中项,求证.cos4C-4cos4A=3

Answer 1

由题意得：
2sinA=sinB+cosB ①
sin²C=sinB*cosB ②
①²-2×②得：4sin²A-2sin²C=1
则：4sin²A-4sin²C=1-2sin²C
2(1-cos2A)-2(1-cos2C)=cos2C
cos2C=2cos2A
由倍角公式：cos4C=2cos²2C-1=8cos²2A-1
cos4A=2cos²2A-1
所以，cos4C-4cos4A=8cos²2A-1-4(2cos²2A-1)
=3
证毕。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

证明：
∵sinA是sinB.cosB的等差中项
∴2sinA=sinB+cosB ①
∵sinC是sinB.cosB的等比中项
∴sin^2C=sinBcosB ②
①式平方，第②式代入①式
4sin^2A=1+2sin^2C
2-2cos2A=1+1-cos2C
2cos2A=cos2C
两边同时平方，得
4cos^2(2A)=cos^2(2C)
2(cos4A+1)=1/2(cos4C+1)
4cos4A+4=cos4C+1
∴cos4C-4cos4A=3