Question

如图，在矩形ABCD中，DE垂直AC于点E，角EDC：角EDA=1:3，且AC=4，（1）求角BDC的度数（2）求DE的长

Answer 1

设AC与BD相交于O，
⑴∵∠DEC=90°，∠EDC：∠ECD=1：3，
∴∠ECD=90°÷4×3=67.5°，
∵ABCD是矩形，∴OD=OC，∴∠BDC=∠ECD=67.5°。
⑵在ΔOCD中，∠COD=180°-2×67.5°=45°，
在RTΔODE中，OD=1/2BD=1/2AC=2，
∴DE=OD÷√2=√2。

Answer 2

解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=

1
2
AC=5，OB=OD=

1
2
BD=5，

∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°，
∴∠ODC=∠OCD=67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=45°，
∴OE=DE，
∵OE²+DE²=OD²，
∴（2DE）²=OD2=4
∴DE=根号2