Question

已知四边形ABCD中，AB垂直于AD，BC垂直于CD，AB=BC，角ABC=120度，角MBN=6

0度，角MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于点E，F。(1)如图1,当角MBN绕点B旋转到AE=CF时,求证:AE+CF=EF;(2)当角MBN绕点B旋转到AE不等于CF时,在图2和图3两种情况下,(1)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?

Answer 1

解：（1）AE+CF=EF；
（2）成立．
理由是：延长EA到G，使AG=FC，
∵GA=FC，∠GAB=∠FCB，AB=CB，
∴△GAB≌△FCB，
∴∠GBA=∠FBC，GB=FB，AG=CF，
∵∠FBC+∠FBA=60°，
∴∠GBA+∠FBA=60°，
即：∠GBF=60°
∵∠EBF=30°，
∴∠GBE=30°，
∵GB=FB，∠GBE=∠FBC，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE，
∴GE=FE
∵GE=AG+AE，
∴EF=AE+CF；

（3）图3：AE-CF=EF；图4：AE+EF=CF．

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