Question

存在实数x属于[2,4]使x^2－2x＋5－m＜0成立，则m的取值范围？（答案是大于5）请详解。[注意是存在，不...

存在实数x属于[2,4]使x^2－2x＋5－m＜0成立，则m的取值范围？（答案是大于5）请详解。[注意是存在，不是恒成立]

Answer 1

设g（x）=x^2－2x＋5，g（x）在区间[2,4]上单调递增，当x=2时取最小值g（x）min= 2²-2×2+5=5
则存在x使得x^2－2x＋5－m＜0
即存在x使得g（x）=x^2－2x＋5＜m成立
只要m大于g（x）在区间[2,4]上的最小值即可
即m＞g（x）min=5

Answer 2

x^2-2x+5=(x-1)^2 +4
(x-1)^2在x=1处最小，区间[2,4]上单调递增
所以在x=2处不等式左边取得最小值。
要让该不等式可以成立，只需要不等式左边的最小值小于0即可。
所以只需要x=2代入左边，算出m即可。