Question

关于不等式的问题

已知不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4,若不等式的解集为全体实数，求a的取值范围

Answer 1

已知不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4,若不等式的解集为全体实数，
（1）当x<-2时，a为任意实数。
（2）当x≥-2时，|2x-a|+|x+3|≥2x+4可化为
|2x-a|≥x+1
由x≥-2得2x-a≥-a-4，所以a≤-4时，|2x-a|=2x-a，有2x-a≥x+1即x≥a+1
∵x≥-2
∴a+1≤-2,得a≤-3
∴a≤-4时，对所有x≥-2有|2x-a|+|x+3|≥2x+4成立
a的取值范围（-∞，-4）

追问

这个证明不太严谨吧，这里|2x-a|中2X和a的大小讨论了么

追答

不用去对|2x-a|中2X和a的大小讨论
进行补充内容如下：
（2）当x≥-2时，|2x-a|+|x+3|≥2x+4可化为
|2x-a|≥x+1
①对于-2≤x-2,取x=a+k，总能找到一个小于1的正数k满足x≥-1的条件，有
|2x-a|=|a+2k|=a+2k-2,总能找到一个x使|2x-a|< x+1，导致|2x-a|≥x+1不能恒成立
综合上述分析，a的取值范围（-∞，-2]

Answer 2

楼上的回答说的很清楚啊
前面说了（2）当x≥-2时，a≤-4时2x才能大于a，于是求得a≤-3综合得a≤-4的啊

追问

这个题的答案应该是a≤-2