Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左焦点F1(-1,0)长轴与短轴的比是2:根号3

(1)求椭圆的方程
(2)过F1作两直线m n 交椭圆于ABCD四点 若m⊥n 求证 1/AB的绝对值+1/CD的绝对值为定值

Answer 1

（1）由已知条件 c=1，a/b=2/√3；
因为 c²=a²-b²=(2/√3)b²-b²=(1/3)b²，所以 b²=3c²=3；a²=(4/3)b²=4；
椭圆方程为：(x²/4)+(y²/3)=1；
（2）设直线 m 的方程为 y=k(x+1)，则直线 n 的方向程为 y=-(x+1)/k；
若直线 m 与椭圆的交点是 A、B，将 m 的方程代入椭圆可得 A、B 坐标：(x²/4)+[k²(x+1)²/3]=1；
整理上式 (3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0；
则两根之差 |Xa-Xb|=√△ /(3+4k²)=√[(8k²)-4(3+4k²)(4k²-12)] /(3+4k²)=12√(1+k²) /(3+4k²)；
|AB|=|Xa-Xb|*√(1+k²)=12(1+k²)/(3+4k²)；
1/|AB|=(3+4k²)/[12(1+k²)]；
同理 1/|CD|=(4+3k²)/[12(1+k²)]
1/|AB|+1/|CD|=[(3+4k²)+(4+3k²)]/[12(1+k²)]=[7(1+k²)/[12√(1+k²)]=7/12；