Question

已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R

1.求f(x)的单调区间
2.f(x)在【0，+无穷）上存在最大值和最小值，求a的取值范围
（要规范书写的解答过程）

Answer 1

已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R
1.求f(x)的单调区间2.f(x)在【0，+无穷）上存在最大值和最小值，求a的取值范围
(1)解析：∵函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1)
当a=0时，函数f(x)=-1/(x^2+1)
令f’(x)=2x/(x^2+1)^2=0==>x=0
f’’(x)=(2-6x^4)/(x^2+1)^4==> f’’(0)>0
∴函数f(x)在x=0处取极小值
即x∈(-∞,0)时，f(x)单调减；x∈[0,+∞)时，f(x)单调增；

当a<0时令f’(x)=(2a-2ax^2-2a^2x+2x)/(x^2+1)^2=0
2ax^2+2(a^2-1)x-2a=0==>x1=1/a，x2=-a
函数f(x)在x=1/a处取极大值；在x=-a处取极小值
∴x∈(-∞,1/a)或[-a,+∞)时，f(x)单调增；
x∈[1/a,-a)时，f(x)单调减；

当a>0时,函数f(x)在x=1/a处取极大值；在x=-a处取极小值
∴x∈(-∞,-a)或[1/a,+∞)时，f(x)单调减；
x∈[-a,1/a)时，f(x)单调增；

(2)解析：由(1)可知
当a<0时，函数f(x)在x=1/a<0处取极大值；在x=-a>0处取极小值
当x→-∞时，f(x)正向趋近0；当x→+∞时，f(x)负向趋近0
f(0)=(a^2-1)
∴当a=-1时，函数f(x)在[0,+∞)存在最大值f(0)=0，存在最小值f(-a)

当a>0时,函数f(x)在x=1/a>0处取极大值；在x=-a<0处取极小值
当x→-∞时，f(x) 负向趋近0；当x→+∞时，f(x) 正向趋近0
∴当a=1时，函数f(x)在[0,+∞)存在最小值f(0)=0，存在最大值f(1/a)；

Answer 2

不会