Question

已知∠AOB=160°，∠COE=80°。OF平分∠AOE。

（1）如图1，若∠COF=14°，则∠BOE=————；得到∠BOE与∠COF的数量关系为--------；
（2)当∠COE绕O点逆时针旋转到如图2的位置时，则（1）中的∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在请说明理由





Answer 1

（1）由OF平分∠AOE得到∠AOE=2∠EOF，利用∠AOE=∠AOB-∠BOE，得2∠EOF=∠AOB-∠BOE，则2（∠COE-∠COF）=∠AOB-∠BOE，把∠AOB=160°，∠COE=80°代入•即可得到∠BOE=2∠COF，这样可分别计算出∠COF=14°或n°时，∠BOE的度数；
（2）与（1）的推理一样．
（3）设∠AOF=∠EOF=2x，由∠DOF=3∠DOE，得∠DOE=x，而∠BOD为直角，2x+2x+x+90°=160°，解出x=14°，则∠BOE=90°+x=104°，于是∠COF=
12
×104°=52°（满足∠COF+∠FOE=∠COE=80°）．

：（1）∵∠AOE=∠AOB-∠BOE，
而OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∴2∠EOF=∠AOB-∠BOE，
∴2（∠COE-∠COF）=∠AOB-∠BOE，
而∠AOB=160°，∠COE=80°，
∴160°-2∠COF=160°-∠BOE，
∴∠BOE=2∠COF，
当∠COF=14°时，∠BOE=28°；当∠COF=n°时，∠BOE=2n°，
故答案为28°；2n°；∠BOE=2∠COF．

（2）∠BOE=2∠COF仍然成立．理由如下：
∵∠AOE=∠AOB-∠BOE，
而OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∴2∠EOF=∠AOB-∠BOE，
∴2（∠COE-∠COF）=∠AOB-∠BOE，
而∠AOB=160°，∠COE=80°，
∴160°-2∠COF=160°-∠BOE，
∴∠BOE=2∠COF；

（3）存在．
设∠AOF=∠EOF=2x，
∵∠DOF=3∠DOE，
∴∠DOE=x，
而∠BOD为直角，
∴2x+2x+x+90°=160°，
解得x=14°，
∴∠BOE=90°+x=104°，
∴∠COF=12×104°=52°（满足∠COF+∠FOE=∠COE=80°）．