Question

已知函数x^2-alnx(a属于R).当x=1时,f(x)取得极值.

(1)求a的值
(2)求函数f(x)与函数g(x)=-x^2+2x+k(k属于R)的图像的交点个数

Answer 1

fIx)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=2x-a/x.
（1）f'(1)=2-a=0，所以a=2.
（2）x²-2lnx=-x²+2x+k，所以2x²-2lnx-2x-k=0.
设h(x)=2x²-2lnx-2x-k，则h'(x)=4x-2/x-2=2(x-1)(2x+1)/x.
令h'(x)=0得x=1.
当x∈(0,1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减
当x∈(1,+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增.
所以h(x)min=h(1)=-k.
所以当k<0时，方程两个函数没有交点；
当k=0时，两个函数有1个交点；
当k》0时，两个函数有2个交点.

Answer 2

1.f(x)=x^2-alnx
f'(x)=2x-a/x x>0
.'.f'(1)=2-a=0
.'.a=2
2.f(x)=x^2-2lnx
令f(x)=g(x)
.'.x^2-2lnx=-x^2+2x+k
.'.x^2-x-lnx-k/2=0
令h(x)=x^2-x-lnx-k/2 x>0
.'.h'(x)=2x-1-1/x
h'(x)=0 x=1
当x>1时，h'(x)>0
当x<1时,h'(x)<0
.'.h(x)的最小值为h(1)=-k/2
.'.当k=0时，有一个交点，
当k<0时，没有交点，
当k>0时，有两个交点