Question

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左焦点F作直线叫双曲线的两条渐近线与A,B两点。若FA=2FB（向量）

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左焦点F作直线叫双曲线的两条渐近线与A,B两点。若FA（向量）=2FB（向量），OB*OA=(OB)^2（都是向量），求双曲线的离心率。

Answer 1

解：两条渐近线的方程为y=±bx/a,
F（-c,0）, 设过点F的直线为 y=k(x+c) （*）
点A(x1,y1)在直线y=bx/a上，代入（*），
所以点A的坐标为 （kac/(b-ak),kbc/(b-ak)）
点B(x2,y2)在直线y=-bx/a上，代入（*）
所以点B的坐标为（-kac/(b+ak),kbc/(b+ak)）
因FA=2FB, 所以Y1=2y2 , kbc/(b-ak)=2kbc/(b+ak)èk=b/3a
把k=b/3a代入点A,B的坐标，得A(c/2,bc/2a), B(-c/4,bc/4a)
因OB*OA=(OB)^2， c/2*(-c/4)+(bc/2a)*(bc/4a)=(-c/4)^2+(bc/4a)^2,
化简得b^2=3a^2, (c^2-a^2)=3a^2, e=2