Question

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左焦点F的直线与双曲线C的右支交于点

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左焦点F的直线与双曲线C的右支交于点P，与圆x^2+y^2=a^2恰好切于线段FP的中点M，则直线的斜率为？

Answer 1

OF=c

PF相切圆O于M，OM=a

∴FM=b

∵线段FP的中点M

∴PF=2b

作PE⊥x轴

△FMO∽△FEP

∴a/PE=c/2b=b/FE

∴PE=2ab/c

FE=2b^2/c

直线的斜率=tan∠F=PE/FE=(2ab/c)/(2b^2/c)=a/b

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Answer 2

斜率是a/b;
方法是，设坐标轴原点是O。则由相切知OM=a；OM垂直于FM；于是在直角三角形中，勾股定理知FM=b；所以角MFO的正切是a/b就是斜率。
这是最简单的方法，期待更多讨论。