Question

在等差数列an中a16+a17+a18=a9=-18，其前n项和为Sn

（1）求sn的最小值 并求出sn取最小值时n的值；（2）求Tn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜

Answer 1

(1)a16+a17+a18=3*a16+3d=3*(a17)=a9=-18,
所以a17=-6,a9=-18，
因为a17-a9=8d=-6-(-18)=12,解得d=3/2，
所以an=a9+(n-9)*d=-18+(n-9)*3/2=3/2*n-63/2,a1=-30<0,
由通项公式可知an单调递增，由an=0解得n=21，
所以当n<=21时，an<=0，即此时的sn都是小于0，
snmin=s20=s21=a1*n+n*(n-1)*d/2=-30*20+(20*19*3/2)/2=-315,n=20或21.

（2）因为an首项为负数，但是单调递增，当n=21时an=0,
所以Tn的要分段，取n<=21,和n>21(等于分在前后都没关系，因为a21=0)，
当n<=21时，Tn= -（a1*n+n(n-1)d/2）=30n-n(n-1)3/4,
当n>21时，Tn= -s21+（a22+an）(n-21)/2=315+(3/2+3/2n-63/2)(n-21)/2=3/4*n^2-123/4*n+630