Question

拓扑中，闭集在连续映射下一定是闭集吗？如果不是请给出反例，谢谢

Answer 1

当然不是，有这种性质的映射称为是闭映射。同样类似有开映射的定义。至于反例就太多了。例如：假设 X={A,B} 是两个点构成的集合。定义两种拓扑：第一种的开集是 空集，{A}, {B}, {A,B}.第二种的开集是 空集，{A},{A,B}. 定义映射 X->X 为常值映射 A->A, B->A. 显然 {B} 是第一种拓扑中的闭集（因为补集{A}是开集), 而 {A} 在第二种拓扑中是开集，不可能是闭集（因为补集{B} 不是开集）！ 甚至还可以更病态：恒同映射都不一定满足这种性质，比如同样这个例子，将第二种拓扑的开集定义为 空集，{A,B}. 此时恒同映射就不是闭映射！拓扑学之所以有这种奇怪的性质的原因是因为拓扑的性质太弱了，随意性太大，所以一般情况下要讨论东西都必须加一些限制条件。

Answer 2

当然是不一定是，不过这个反例。。。。
设X是Hilbert空间，r是普通的欧式拓扑。作映射f：X--R，f（x）是x的无穷范数。
那么对于任意闭集，U={x|1/2<=|x|<=1}., f(U)={x|0<x<=1}为非闭集。

Answer 3

一定是。
设定义域为区间[x1,x2]，必然f(x1)、f(x2)有界
又在定义域为连续函数，必然在(x1,x2)上有界
所以f(x)在[x1,x2]有界，值域为闭区间