Question

在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知asin2B=√3bcosB,

在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知asin2B=√3bcosB,
（1）求角A的大小 （2）当sin(A+B)+sin(A+C)=√3时，求sin^2(B)+sin^2(C)的值

Answer 1

1) 由于sin(2α)=2sinαcosα，所以√3bcosB=asin(2B)=2asinBcosB，得b/sinB=2a/√3
而由正弦定理，有a/sinA=b/sinB，所以a/sinA=2a/√3，即sinA=√3/2
由于∠A是锐角，所以∠A=π/3
2) 由于sin(π-α)=sinα，所以sin(A+B)+sin(A+C)=sin(π-C)+sin(π-B)=sinB+sinC=√3
两边平方得(sinB)^2+(sinC)^2+2sinBsinC=3
由于(sinα)^2=1-(cosα)^2，所以1-(cosB)^2+1-(cosC)^2+2sinBsinC=3
即(cosB)^2+(cosC)^2-2sinBsinC+1=0
cos(B+C)=cos(π-A)=cos(π-π/3)=-1/2
则cos(B+c)=cosBcosC-sinBsinC=-1/2，得sinBsinC=cosBcosC+1/2
代回(cosB)^2+(cosC)^2-2sinBsinC+1=0，得(cosB)^2+(cosC)^2-2cosBcosC=0
即(cosB-cosC)^2=0，则cosB=cosC
而∠B、∠C都是锐角，所以∠B=∠C
由∠B+∠C=π-∠A=π-π/3=2π/3，得∠B=∠C=π/3
则(sinB)^2+(sinC)^2=2sin(π/3)^2=3/2