Question

高一数学问题！！！

给定两个平面向量OA和OB,它们的夹角为120度，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，且OC=XOA+YOB（其中X,Y属于R），则x+y的 最大值为

Answer 1

记oc与oa夹角为θ，设oa为直角坐标系的x轴。
则，oc=(cosθ,sinθ),oa=(1,0),ob=(-1/2,√3/2)
代入OC=XOA+YOB，有(cos θ,sin θ)=(x,0) + (-y/2,√3y/2)
联立方程组：x-y/2=cos θ √3y/2=sin θ
故x+y=2sin( θ +∏/6)≤2
所以x+y的最大值为2.

Answer 2

由条件，A,B,C三点都在以O为圆心的圆上，
从而|OA|=|OB|=|OC|=r，r>0
又|OC|²=|xOA+yOB|²
=(xOA+yOB)²
=x²OA²+2xyOA·OB+y²OB²
=x²|OA|²+2xy|OA|·|OB|·cos120°+y²|OB|²
即r²=x²r²-xyr²+y²r²
所以　x²+y²-xy=1
(x+y)²=1+3xy≤1+3[(x+y)/2]²
从而　(x+y)²≤4
x+y的最大值为2.

Answer 3

|OA|=|OB|=|OC|=1
又：OC=xOA＋yOB
则：
OC²=(xOA＋yOB)²
1=x²＋2xyOA*OB＋y²
x²－xy＋y²=1
x²＋y²=1＋xy
(x＋y)²=1＋3xy≤1＋(3/4)(x＋y)² 【因为x＋y≥2√(xy)，则：xy≤(1/4)(x＋y)²】
(1/4)(x＋y)²≤1
x＋y≤2
即：x＋y的最大值是2

Answer 4

x+y的最大值为2。

从“C在以O为圆心的圆弧AB上运动”可知，OA、OB、OC的模相等，且C在劣角AOB内所对的圆弧上，如下图可知，只有C在∠AOB的平分线上时，x、y同时达到1（第一图）。否则，两数至少有一个是小于1的（C与A或B重合时，x=1或y=1）（第二图）。

Answer 5

4.x和y分别为2

Answer 6

X+Y最大值为2。

不妨设圆弧半径为1。

则OC=XOA+YOB

即OC^2=X^2*OA^2+Y^2*OB^2+2XY*OA*OB

即1=X^2+Y^2+2XY*cos(120度)

即1=X^2+Y^2-XY=1/4*(X+Y)^2+3/4*(X-Y)^2>=1/4*(X+Y)^2，

即X+Y<=2，最大值为2。

取到最大值时，OC在OA和OB角平分线上，X=1，Y=1，X+Y=2。