Question

对于函数f(x)=ax^2+(b+1)x+b+1(a≠0),若存在x0∈R

对于函数f(x)=ax^2+(b+1)x+b+1(a≠0),若存在x0∈R使f（x0）=x0，则称x0为f（x）的不动点。对任意实数b，函数f（x）能否恒有两个不动点？，求实数a的取值范围注意两个不动点。两个相异的不动点有无区别

Answer 1

解：假设存在实数a使得对于任意实数b，函数f(x)恒有两个不动点。ax2 + (b + 1)x + b + 1 = x ；ax2 + bx + b + 1 = 0 ；所以，根的判别式Δ=b2 - 4a(b + 1)恒大于等于0，即b2 - 4ab - 4a ≥ 0恒成立，那么函数g(b) = b2 - 4ab - 4a的图像在x轴上方，或者和x轴相切。所以对应的一元二次方程b2 - 4ab - 4a = 0的根的判别式Δ= (-4a)2 - 4*1*(-4a) = 16a2 + 16a ≤ 0恒成立，a2 + a ≤ 0，a(a + 1) ≤ 0，解得 -1 ≤ a ≤ 0，由已知a ≠ 0，所以 -1 ≤ a < 0 ；综上所述，原假设成立，所求的a的取值范围是[-1，0) 。如果是两个相异的不动点，那么第一个Δ>0恒成立，第二个Δ<0恒成立，解得的a的取值范围是(-1，0) 。

Answer 2

-1<a<0，能恒有两个不同的动点。分析与解如下：

f(x)=ax² + (b+1)x + b +1
若对于任意的实数b，f(x0)=x0恒有两个不动点，
则，ax0² + (b+1)x0 + b +1=x0这个一元二次方程，恒有两不等的实根，
化简即为，ax² + bx + b +1=0，有两不等到的实根，
⊿ = b² -4a(b+1)>0，恒成立（b∈R）
若设f(b)=b² -4a(b+1)=b² -4ab-4a>0，⊿>0对于b∈R恒成立，
即f(b)在其定义域R上大于0恒成立，即对于函数f(b)，其⊿<0，
即，(-4a)² -4*1*(-4a)<0，即：a(a+1)<0，解此不等式可得，-1<a<0