f(x)的原函数在某点可导，则f(x)在该点极限是否存在？
2个回答
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未必。例如函数
F(x) = [x^(1/3)]sin(1/x)，x≠0，
= 0，x=0，
该函数在 x=0 处可导，导数为
F'(0) = lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x = lim(x→0)[x^(1/3)]sin(1/x) = 0，
且当 x≠0 时的导函数为
F'(x) = (4/3)[x^(1/3)]sin(1/x)+[x^(4/3)]cos(1/x)*[-1/(x^2)]
= (4/3)[x^(1/3)]sin(1/x)-[x^(-1/3)]cos(1/x)，
但它在 x=0 处不存在极限。
F(x) = [x^(1/3)]sin(1/x)，x≠0，
= 0，x=0，
该函数在 x=0 处可导，导数为
F'(0) = lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x = lim(x→0)[x^(1/3)]sin(1/x) = 0，
且当 x≠0 时的导函数为
F'(x) = (4/3)[x^(1/3)]sin(1/x)+[x^(4/3)]cos(1/x)*[-1/(x^2)]
= (4/3)[x^(1/3)]sin(1/x)-[x^(-1/3)]cos(1/x)，
但它在 x=0 处不存在极限。
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