Question

已知：正四棱锥S-ABCD的高为√3，斜高为2，设E为AB中点，F为SC中点，M为CD边上的点。 （

已知：正四棱锥S-ABCD的高为√3，斜高为2，设E为AB中点，F为SC中点，M为CD边上的点。
（1）求证：EF平行平面SAD
（2）试确定点M的位置，使得平面EFM垂直底面ABCD

Answer 1

1、在CD上找到中点N，连结FN、EN，
∵FN是△SDC的中位线，
∴FN//SD，
∵DN=AE=AB/2，
AE//DN，
∴四边形AEND是矩形，
∴NE//AD，
∵AD∩AD=D，
FN∩NE=N。
∴平面FNE//平面SAD，
∵FN⊂平面EFN，
∴EF//平面SAD。
2、设SH⊥平面ABCD，H是垂足，则SH是棱锥的高，
在平面SAC上，从F作FP⊥AC，垂足P，
在平面ABCD上连结EP，延长交CD于M，即为所求M点，
∵FP⊥AC，SH⊥AC，
∴EP//SH，
∵SH⊥平面ABCD，
∴FP⊥平面ABCD，
∵FP⊂平面EFM，
∴平面EFM⊥平面ABCD，
∵F是SC的中点，
∴FP是△SHC的中位线，
∴CP=CH/2，
∵CH=AC/2，
∴CP/AP=1/3，
AE=AB/2，
在底面ABCD上，
∵△CMP∽△AEP，
CM/AE=CP/AP=1/3，
AE=AB/2，
∴CM=CD/6，
∴当M在CD上距C为1/6的正方形边长时平面EFM垂直底面ABCD，

至于已知具体尺寸，可能还有第三问计算题。