Question

如图，两座建筑物AB，CD的高度分别为9m和15m，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角∠CAD=45°

（1）求两建筑物底部距离BD
（2）在BC上有一点P（不与B、C重合），设∠APB=α，∠CPD=β，当P在BC何处时，α+β最小

Answer 1

解答：
（1）过A作AE⊥DC于E点，
设BD=x
则tan∠CAE=(15-9)/x=6/x
tan∠DAE=tan∠ADB=9/x
∴ tan45°=(6/x+9/x)/(1-54/x²)
∴ 1-54/x²=15/x
∴ x²-15x-54=0
∴ (x-18)(x+3)=0
∴ x=18或x=-3（舍）
即 BD=18
（2）是在BD上有一点P吧。
设BP=t 0<t<18
则tanα=9/t, tanβ=15/(18-t)
∴ tan(α+β)
=[9/t+15/(18-t)]/[1-135/t(18-t)]
=[9(18-t)+15t]/[t(18-t)-135]
=(162+6t)/(-t²+18t-135)
=6(t+27)/[-(t-9)²-54]
∴ α+β是钝角，∴ α+β最小，即tan(α+β)最小
以下需要用导数方法。
没想到更好的方法。